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微积分“拐弯”五十年

2013-06-13 05:06:00.0  
导读:    大家知道,微积分(Calculus)是整个现代数学的基础(或基石)。近五十年来,这个基础在不断地演变(所谓“拐弯”),但是,此事一般不为外人所知。为什么?          早在300多年前,当微积分学还处在襁褓之中的时候,莱布尼兹(Leibniz)的微分演算,微分dx变换莫测,在演算开始时非零,而在演算结束时又不见了。在1734年,George Berkeley狠批这种“混乱”,称微分d...。。。

    大家知道,微积分(Calculus)是整个现代数学的基础(或基石)。近五十年来,这个基础在不断地演变(所谓“拐弯”),但是,此事一般不为外人所知。为什么?

          早在300多年前,当微积分学还处在襁褓之中的时候,莱布尼兹(Leibniz)的微分演算,微分dx变换莫测,在演算开始时非零,而在演算结束时又不见了。在1734年,George Berkeley狠批这种“混乱”,称微分dx是“逝去量的鬼魂”,向莱布尼兹脸上抹黑。但是,作为无穷小的微分dx仍然被沿用了一百多年,而且取得了大量的研究成果。直到1870年,(εδ)极限论的确立,消除了莱布尼兹的推理“瑕疵”,彻底把无穷小“鬼魂”驱逐出去了。

          1948年,数学家Hewitt借助代数与拓扑学的方法首次引入了超实数的概念;1960年,美国数理逻辑模型论专家A.Robinson从新的视角重新发现了超实数(包括无穷小以及无穷大)的非标准逻辑模型。由此,微积分开始了“拐弯”,向着更为高级的阶段狂奔而去。进入本世纪初(在2004-2006年期间),人们终于发现(或认识到),当年莱布尼兹关于无穷小的逻辑“瑕疵”并不会导致逻辑矛盾,为莱布尼兹倡导的无穷小学说恢复了名誉。

          1976年,美国J.Keisler教授发表基于无穷小方法的《基础微积分》(大学低年级微积分教材),此举是微积分“拐弯”进入深水区的标志。2012221日,该书第三版发行,这意味着无穷小微积分已经被世界范围内的广大学子所接受,至此,微积分“拐弯”五十年终于算是”落地“。

            回到我们国内,在促进微积分“拐弯”方面,过去我们几乎没有什么实质性的工作,根本没有提到议事日程。现在,终于有了一个”开端“,可惜并不发生在首都北京。

  说明:请参考研究论文:Katz,Mikhail;Tall,David (2011), Tension between Intuitive Infinitesimals and Formal Mathematical Analysis



(编辑: yuanmeng001)

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